Matematika Valentine dan 3/14 Pi Day

Matematika Valentine
Hingar bingar serta pro-kontra Valentine’s day yang jatuh setiap tanggal 14 Februari justru menginspirasi para matematikawan untuk mengeksplorasi fungsi-fungsi yang dapat digunakan untuk membangun kurva yang menyerupai bentuk jantung, baik dalam 2 maupun 3 dimensi.

Barangkali ekspresi matematik paling sederhana yang menghasilkan kurva menyerupai bentuk jantung adalah persamaan polar r(t) = 1 - sin(t), -Pi <= t <= Pi. Di dalam Kalkulus, kurva yang dihasilkan disebut cardioid, karena bentuknya menyerupai jantung. Kurva cardioid pada Gambar (a) dihasilkan dengan kode sederhana Mathematica sbb.

r[t_]:=1-Sin[t]

PolarPlot[r[t],{t,-Pi,Pi},Axes->None]

Kurva pada Gambar (b) dihasilkan melalui perintah RegionPlot fungsi f(x,y) = (x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2* y^2. Cobalah kode Mathematica berikut.

f[x_,y_]:= (x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2 * y^3

RegionPlot[f[x,y]<=0,{x,-1.2,1.2},{y,-1,1.4}, Frame->False, Axes->None, PlotStyle->Pink]

Untuk memperoleh bentuk permukaan jantung dalam 3 dimensi, ada beberapa tipe fungsi 3 variabel yang dapat diplot melalui perintah ContourPlot3D. Permukaan (c) berasal dari Nordstrand dan Kuska dengan kode Mathematica sebagai berikut. (Catatan: kurangi nilai opsi MaxRecursion untuk mempercepat proses ekskusi).

heart[x_,y_,z_]:= 10(2*x^2 + y^2 + z^2 - 1)^3 - x^2 * z^3 - 10y^2 * z^3

ContourPlot3D[heart[x,y,z]<=0,{x,-0.9,0.9},{y,-1.2,1.2},{z,-1.2,1.4},MaxRecursion->6, Mesh->None, Boxed->False,Axes->False,ContourStyle->Directive[Red,Specularity[White,10]], ViewPoint->{2,.1,.5},PlotRange->All]

Perayaan hari Valentine boleh saja mengundang pro-kontra, namun seorang matematikawan barangkali akan bilang, “Semoga rasa kasih dan sayang terhadap sesama dan lingkungan terus meningkat secara eksponensial...” :-)

Kutha Ardana – MathIPB, 14/02/2011

Referensi

Weisstein, Eric W. "Heart Surface." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeartSurface.html .

Kuska, J.-P, C. "RE: Drawing a Heart in Mathematica?" comp.soft-sys.math.mathematica posting. Feb. 13, 2004. http://forums.wolfram.com/mathgroup/archive/2004/Feb/msg00303.html.

Nordstrand, T. "Heart." http://jalape.no/math/hearttxt.







3/14 Pi Day

Bulan Maret tanggal 14, atau 3/14, di kalangan penggemar bilangan dikenal sebagai hari perayaan salah satu konstanta penting dalam matematika, yaitu Pi. Fisikawan Larry Shaw adalah penggagas Pi Day pada tahun 1989. Tahun 2009 DPR AS menyetujui penetapan Pi Day ini. Situs resmi Pi Day dapat diakses di http://www.piday.org. Selain memuat informasi tentang Pi, Anda pun dapat mengirim eCard atau memesan pernak-pernik Pi.

Secara sederhana, Pi menyatakan nisbah antara keliling dan diameter sebuah lingkaran. Hasilnya adalah suatu bilangan irasional (bilangan yang tak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat p dan q). Bila dinyatakan ke dalam desimal, Pi terdiri atas takhingga desimal dengan pola yang tak berulang, 3.1415926... Sifat ini memacu para matematikawan untuk berlomba menemukan formula komputasi Pi, baik dalam bentuk deret, limit, konstruksi geometri, maupun iterasi (http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html). Di pihak lain, berbagai algoritme terus dikembangkan untuk mengimplementasikan komputasi Pi. Tak ketinggalan para perancang hardware komputer terus terinspirasi untuk mengembangkan processor yang makin canggih.

Sampai saat ini, rekor dunia banyaknya desimal Pi telah menembus angka 5 triliun desimal yang dipecahkan 2 Agustus 2010 dengan program y-cruncher oleh Alexander Yee dan desktop komputer yang dirakit oleh Shigeru Kondo. Diperlukan waktu komputasi selama 90 hari, 22 TB memori serta 4 TB penyimpan output ( 1 TB = 2^40 bytes) (http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/announce_en.html). Program y-cruncher ini juga telah memecahkan rekor dunia untuk konstanta-konstanta matematika lainnya, termasuk konstanta Euler, e.

Ingin mencoba pola acak digit desimal Pi? Lakukanlah eksplorasi di The Pi Search Page, http://www.angio.net/pi/piquery.html, yang melakukan pencarian berdasarkan 200 juta digit desimal Pi. Mari kita perkecil ukuran digit yang digunakan. Untuk mengetahui pada digit keberapakah ulang tahun seseorang muncul dalam digit desimal Pi misalnya, hanya diperlukan 60 872 digit desimal. Cobalah kode sederhana yang saya buat dalam Mathematica berikut.

pi = N[Pi,100000]; (* Pi hingga 100 000 angka signifikan *)
piDigit = RealDigits[pi,10,100000]//First//Rest; (* desimal Pi dalam list bilangan *)
piString = FromDigits[piDigit]//ToString; (* desimal Pi dalam bentuk list string *)
cari[s_String]:= StringPosition[piString, s]/.{a_, b_}->a (* cari posisi *)

Misalkan Anda yang lahir tanggal 17 Agustus, dapat memasukkan input string: “1708” atau “0817”

cari["1708"] -> {31123, 45639, 51057, 80042, 97003}

Artinya “1708” pertama kali muncul pada digit ke-31 123, lalu digit ke-45 639, dst pada digit desimal Pi (digit setelah tanda desimal, atau 14159…

Mungkin ada yang sudah menduga, Pi Day akan sangat istimewa pada tahun 2015. Kenapa? Karena 3/14/15 persis sama dengan 5 digit pertama Pi, yakni 3.1415… Happy Pi Day!

(Kutha Ardana – MathIPB, 3/14/2011)